Anti-PISA. Anatoly Krasnyansky: Errors in PISA tasks. Программа PISA - международный лохотрон? Аргумент 6: Ошибки в группе заданий по математике "Экспорт".

Анатолий Краснянский

Программа PISA — международный лохотрон? Аргумент 6

Ошибки в группе заданий по математике "Экспорт" программы PISA-2003

Предварительная информация

Лохотрон – это действия или мероприятия, направленные на получение какой-либо выгоды путем обмана. Исходя из этого определения, можно указать два существенных признака лохотрона: 1) получение какой-либо выгоды; 2) наличие обмана.

PISA – Международное тестирование учащихся (PISA, Programme for International Student Assessment) осуществляется Организацией Экономического Сотрудничества и Развития ОЭСР (OECD – Organization for International Cooperation and Development). Испытания проводятся раз в три года, начиная с 2000 года: в 2000, 2003, 2006, 2009, 2012, 2015 и 2018 годах.

Программа PISA осуществлялась консорциумом, состоящим из ведущих международных научных организаций при участии национальных центров и организации ОЭСР.

Например, в 2003 году руководил работой консорциум Австралийский Совет педагогических исследований (The Australian Council for Educational Research – ACER). В Консорциум входили также следующие организации:

Нидерландский Национальный институт измерений в области образования (Netherlands National Institute for Educational Measurement – CITO);

Служба педагогического тестирования США (Educational Testing Service, ETS);

Японский Национальный институт исследований в области образования (National Institute for Educational Research, NIER);

Американская организация ВЕСТАТ (WESTAT), выполняющая различные исследования по сбору статистической информации [1].

Российский филиал PISA (2003 год):

Министерство образования РФ: Филиппов В.М., Болотов В.А., Киселев А.Ф., Баранников А.В., Иванова С.В., Суматохин С.В., Разумовская О.В.

Институт средств и методов обучения РАО: Рыжаков М.В., Суворова С.Б., Кузнецова Л.В., Корощенко А.С., Резникова В.З., Дюкова С.В., Цыбулько И.П., Нурминский И.И., Нурминский А.И.

Центр оценки качества образования ИСМО РАО: Ковалева Г.С., Красновский Э.А., Краснокутская Л.П., Краснянская К.А., Баранова В.Ю., Кошеленко Н.Г., Нурминская Н.В., Смирнова Е.С.

В 2003 году приняло участие более 250 тысяч 15-летних подростков из 41 страны; в России почти 6 тысяч человек (212 школ) из 46 районов. Каждый ученик должен был за 2 часа письменно ответить на 50-60 вопросов по математике, чтению, естествознанию и решению проблем. Российские школьники заняли 29-31 место по математике, 24 по естественным наукам и по грамотности чтения 32 место [1].

1.2. Цель работы. Целью данной и последующих работ является доказательство тезиса: "PISA — международный лохотрон".

1.3. Актуальность работы. В течение последних десяти лет в системе образования проводят радикальные реформы ("модернизацию"). "Модернизация" — это разрушение советской системы образования. Для разрушения системы было необходимо убедительное обоснование. Для этого использовали данные программы PISA. Это программа "показала", что наши пятнадцатилетние учащиеся якобы не умеют применять свои знания.

Очень важно, что "модернизаторы", начиная ломать советскую систему образования, проигнорировали факт: десятки, сотни тысяч наших соотечественников устраивались в странах Западной Европы, в США и в Канаде по специальности. То есть наша (советская) система образования была конкурентноспособной. Зачем же ее надо было разрушать? Советскую систему образования не надо было уничтожать, ее надо было развивать, совершенствовать.

Следует обратить внимание на низкий уровень интеллекта руководителей в области образования: они проигнорировали факт, но поверили результатам программы PISA. Объективных (не зависящих от воли и желания) способов "измерения" знаний и умений нет и быть не может (смотрите, например,( https://avkrasn.ru/article-192.html ). Конечно, не исключено, что дело не в низком интеллекте руководителей и "модернизаторы" сознают, что делают…

PISA является единственным "обоснованием" для разрушения советской системы образования.

Ректор МГУ имени М.В. Ломоносова академик РАН Виктор Антонович Садовничий и академик РАН Виктор Анатольевич Васильев рассмотрели несколько заданий по математике и естествознанию программы PISA-2003 и подвергли их жесткой критике. ( https://avkrasn.ru/article-51.html , https://avkrasn.ru/article-54.html ).

1.4. Структура доказательства. Ранее указывалось два существенных признака лохотрона: 1) получение какой-либо выгоды; 2) наличие обмана. Обман — умышленное введение в заблуждение. Получение выгоды доказывать не нужно, поскольку работа в программе PISA хорошо оплачивается, недаром в ней (всегда?) участвует верхушка министерства и видные (в смысле — "все время на виду") придворные ученые.

Следовательно, чтобы доказать тезис: "PISA — международный лохотрон" необходимо:

1. Доказать, что PISA вводит в заблуждение, то есть не дает объективную информацию о знаниях и умениях учащихся. Для этого достаточно доказать, что 30 % заданий содержат ошибки в заданиях, и (или) ошибки сделаны при оценке ответов и так далее.

2. Доказать, что пизовцы умышленно ввели в заблуждение сотни миллионов людей, то есть имеет место обман.

Анатолий Краснянский

Системный анализ группы заданий по математике «Экспорт» международной программы PISA-2003

1. Введение

Международное тестирование учащихся (PISA, Programme for International Student Assessment) осуществляется Организацией Экономического Сотрудничества и Развития ОЭСР (OECD – Organization for International Cooperation and Development). Испытания проводятся раз в три года.
Программа ПИЗА-2003 осуществлялась консорциумом, состоящим из ведущих международных научных организаций при участии национальных центров и организации ОЭСР. Руководил работой консорциума Австралийский Совет педагогических исследований (The Australian Council for Educational Research – ACER). В Консорциум входили также следующие организации: Нидерландский Национальный институт измерений в области образования (Netherlands National Institute for Educational Measurement – CITO); Служба педагогического тестирования США (Educational Testing Service, ETS); Японский Национальный институт исследований в области образования (National Institute for Educational Research, NIER); Американская организация ВЕСТАТ (WESTAT), выполняющая различные исследования по сбору статистической информации [1].

В 2003 г приняло участие более 250 тысяч 15-летних подростков из 41 страны; в России почти 6 тысяч человек (212 школ) из 46 районов. Каждый ученик должен был за 2 часа письменно ответить на 50-60 вопросов по математике, чтению, естествознанию и решению проблем. Российские школьники заняли 29-31 место по математике, 24 по естественным наукам и по грамотности чтения 32 место [1].

Ректор МГУ имени М.В. Ломоносова академик РАН Виктор Антонович Садовничий и академик РАН Виктор Анатольевич Васильев рассмотрели несколько заданий по математике и естествознанию программы PISA-2003 и подвергли их жесткой критике (см. сайт). Ответом было полное молчание российских педагогов. Более того, часть нашей педагогической элиты (точнее – «элиты»), вместо того, чтобы провести анализ заданий (как поступили бы настоящие ученые), оживленно обсуждает результаты тестирования российских учащиеся и на основе этих результатов предлагает реформировать российское образование.

Задания по математике международной программы PISA-2003 опубликованы в работе [2].

В данной статье проведен анализ группы заданий по математике «Экспорт». Статья содержит два приложения. Приложение 1 содержит фрагменты из отчета «Основные результаты международного исследования образовательных достижений учащихся ПИЗА-2003». В приложении 2 указаны требования к заданиям в закрытой форме.

2. Первое задание группа заданий «Экспорт»

На диаграммах представлена информация об экспорте из Зедландии – страны, в которой в качестве денежной единицы используют зед.

Вопрос 1. Какова общая стоимость (в миллионах зедов) экспорта из Зедландии в 1998 г.?

ОЦЕНКА ВЫПОЛНЕНИЯ:
Ответ принимается полностью (трудность – 427) – 1 балл.
Процент учащихся, набравших данный балл: 69, 3 – Россия; 78,7 – средний по ОЭСР; 92,0 – Франция (максимальный).
Код 1: 27,1 миллионов зедов или 27100000 зедов или 27,1 (единицы указывать не
обязательно). Принимается также округленный ответ, равный 27.
Ответ не принимается:
Код 0: Другие ответы.
Код 9: Ответ отсутствует.
Задание проверяет: 1-ый уровень компетентности – воспроизведение (простых математических действий, приемов, процедур)
Область содержания: неопределенность
Ситуация: жизнь общества

3. Анализ первого задания «Экспорт»

3.1. «Математическая грамотность» и первое задание по математике группы заданий «Экспорт». Под математической грамотностью (см. приложение 1) деятели программы PISA понимают способность учащихся: 1) распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики; 2) формулировать эти проблемы на языке математики; 3) решать эти проблемы, используя математические факты и методы; 4) анализировать использованные методы решения; 5) интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы [1].

Естественно ожидать, что задания программы PISA – это примеры реальных проблем и примеры их решения с помощью математических методов. Очевидно, что в первом задании нет проблемы, которую нужно распознать, сформулировать на языке математики и решить с использованием математических методов (см. приложение 1). Первое задание – примитивное задание, к тому же содержащее неточность (см. ниже). В учебнике для пятого класса [3 ] советской школы (1990 год) есть более сложные задания:

Задание 292. 1) Пользуясь линейной диаграммой (рис. 1.46), назови среднюю продолжительность жизни некоторых животных. 2) Пользуясь столбчатой диаграммой (рис. 1.47), назови средний удой молока от одной коровы за год.

Почему эти задания сложнее первого задания «Экспорт»? А потому, что средняя продолжительность жизни и средний удой молока не указаны на диаграмме в «готовом» виде, а их нужно определить на основании числовой оси.

3.2. Что нужно знать и что нужно сделать, чтобы выполнить первое задание? Нужно знать, что есть четырехзначные числа, например число 1998 (то, что это число обозначает год, видно из диаграммы), найти столбик, соответствующий этой дате, и записать в ответ число на столбике. Неужели все так просто? Нет. На диаграмме надпись: «Ежегодный экспорт в миллионах зедов, а от учащихся требуют определить, какова общая стоимость (в миллионах зедов) экспорта из Зедландии в 1998 году? Чтобы ответить на вопрос, учащийся должен быть уверенным в том, что термины: «экспорт» и «общая стоимость экспорта» — синонимы. Мысленно разделим учащихся на две группы. Одни учащиеся не стали раздумывать о том, тождественны эти термины или нет. Можно предположить, что их рассуждение было примерно таким: «Раз экспорт и общая стоимость экспорта измеряется в одних и тех же единицах — зедах, значит это тождественные понятия». Затем они нашли столбик, соответствующий данному году и записали в ответе цифру над столбиком. При таком подходе (без анализа терминов) это заданием является легким даже для пятиклассников.

Таким образом, можно предположить, что те, кто не стал глубоко анализировать задание, легко ответили на это задание. Наиболее способные учащиеся, обладающие точным мышлением, могли рассуждать следующим образом: «Экспорт и общая стоимость экспорта измеряется в одних и тех же единицах – зедах. Но это не значит, что эти термины обозначают одно понятие. Предположим, что эти термины обозначают одно понятие. В этом случае возникают вопросы: 1. «Зачем одно понятие обозначили двумя терминами? 2. Почему такой примитивный вопрос предложили девятиклассникам и десятиклассникам? Ведь чтобы ответить на вопрос, нужно посмотреть на диаграмму, найти столбик, соответствующий 1998 году; цифра на столбике и есть ответ. Нет, вероятно, эти термины обозначают разные понятия». Но чем отличается «общая стоимость экспорта» от просто «экспорта»?

Не исключено, что некоторые учащиеся (особенно из тех, кто учились в физико-математических школах) просто не поверили, что им дали такое легкое задание.

Можно предположить, что какая-то часть толковых учеников не выполнила задания из-за того, что не решились отождествить (из-за умения и привычки рассуждать) два термина: «экспорт» и «общая стоимость экспорта». Первое задание оказалось трудным для тех, кто детально проанализировал вопросно-ответную ситуацию и легким для тех, кто этого не сделал.

Почему в задании, содержащем всего около 40 слов (вместе с надписью на первой диаграмме), оказалось два термина, обозначающих одно и то же понятие? Предположение 1: Это получилось случайно, не намеренно. Если так, то это указыват на низкую логическую культуру авторов задания, поскольку использование двух терминов (когда достаточно одного) только запутывает текст. Ведь речь идет о тексте математической задачи, где все должно быть однозначно, а не о художественном тексте, где использование синонимов может сделать текст более выразительным. Предположение 2: Авторы специально использовали два термина для обозначения одного понятия, чтобы сделать задание более «трудным». Но какого эффекта они добились? Они добились того, что задание оказалось более трудным для тех, кто детально проанализировал задание и легким для тех, кто этого не сделал. Можно предположить, что в группу учащихся, не выполнивших это задание, попали как слабые, так и часть наиболее толковых учащихся.

3.3. Анализ результатов тестирования, полученных на основании первого задания. Не выполнили первое задание – простое (даже для пятиклассников) 30,7 % российских девятиклассников, десятиклассников, учащихся колледжей и техникумов.

Как же можно объяснить этот удивительный, мягко говоря, результат? Можно указать одну из причин: наличие двусмысленности в задании. В заданиях не должно быть двусмысленности или неясности формулировок. Такие задания часто пропускают (не дают ответа) сильные ученики ([4], стр. 341). Можно ожидать, что наиболее точно мыслящие учащиеся не решились отождествить термины: «экспорт» и «общая стоимость экспорта» и среди тех, кто не выполнил задание, оказались не только самые слабые ученики, но и наиболее сильные. Следовательно, результаты тестирования учащихся с помощью первого задания не имеют никакой ценности.

4. Второе задание по математике «Экспорт»

Вопрос 2. Какова стоимость фруктового сока, который экспортировали из Зедландии в 2000 году?
A     1,8 миллионов зедов
B     2,3 миллионов зедов
C     2,4 миллионов зедов
D     3,4 миллионов зедов
E     3,8 миллионов зедов
ОЦЕНКА ВЫПОЛНЕНИЯ:
Ответ принимается полностью (трудность – 565) – 1 балл.
Процент учащихся, набравших данный балл: 46,6 – Россия; 48,3 – средний по ОЭСР; 68,9    –   Гонконг (максимальный)
Код 1: E. 3,8 миллионов зедов.
Ответ не принимается:
Код 0: Другие ответы.
Код 9: Ответ отсутствует.
Задание проверяет: 2-ой уровень компетентности – установление связей (между данными из условия задачи при решении стандартных задач)
Область содержания: неопределенность
Ситуация: общественная

5. Анализ второго задания (вопроса 2) по математике «Экспорт»

5.1. Что нужно сделать, чтобы ответить на второе задание? Нужно: 1) не заметить неточности в задании; 2) посмотреть на первую диаграмму; 2) найти столбик, соответствующий экспорту в 2000 году; 3) переписать число, указанное на столбике (42,6); 4) разделить это число на 100 и умножить на 9 (или сразу умножить это число на 0,09). Проще говоря, второе задание – это первое задание плюс простая задача на проценты.

Чтобы выполнить второе задание, необходимо уметь решать простейшие задачи на проценты (в одно действие). Этому обучают в пятом классе [3]. Задачи из учебника для 5 класса [3]:

1172. Клубника содержит в среднем 6 % сахара. Сколько килограммов сахара в 12 кг клубники?
1173. Огурцы содержат в среднем 95 % воды. Сколько килограммов воды в 20 кг огурцов?
1174. Лучшая корова в колхозе за год дала 12500 кг молока жирностью 4 %. Сколько килограммов жира содержится в этом количестве молока?

Есть ли в этом учебнике для 5 класса задачи на проценты, требующие более двух математических операций? Есть, и не одна. Например:

1179. В магазин завезли 800 кг яблок, причем 50 % из них первого сорта и 30 % второго, а остальные – третьего сорта. Сколько килограммов яблок первого, второго и третьего сортов завезли в магазин?

Чтобы ответить на все вопросы, поставленные в задаче 1179, нужно провести четыре математических операции.

Если бы второе задание «Экспорт» не содержало бы неточности (см. ниже), то можно было бы утверждать, что это задание проверяет способность учащегося считывать информацию с простейшей диаграммы (см. первое задания) и умение решать простые задачи на проценты.

5.2. Анализ результатов тестирования, полученных на основании второго задания. Выполнили второе задание 46,6 % (от общего числа) российских учащихся. Среди них: девятиклассники, десятиклассники, учащиеся колледжей и техникумов. Не выполнили второе задание 53,4 % российских учащихся. Второе задание включает первое задание (только вместо экспорта за 1998 на диаграмме нужно посмотреть экспорт за 2000 год) плюс простая задача на проценты. Ранее было предположено, что какая-то часть умных и толковых учеников не выполнила первое задания из-за того, что не решились отождествить (из-за умения и привычки рассуждать) два термина: «экспорт» и «общая стоимость экспорта». Очевидно, что это в полной мере относится ко второму заданию. Чтобы выполнить второе задание, надо выполнить первую часть этого задания, а она аналогична первому заданию.

Первое задание выполнили 69,3 % российских учащихся и можно предположить, что столько же выполнило первую часть второго задания. Выполнили второе задание 46,6 % (от общего числа) российских учащихся. Из этих данных можно рассчитать долю российских учащихся, которые выполнили вторую часть второго задания – задачу на проценты: 46,6 %/0,693 = 67,2 % , то есть только 67,2 % из тех, кто по диаграмме определил экспорт за 2000 год, выполнили вторую часть второго задания – простую (даже для 5 класса) задачу на проценты, 32,8 % ее не выполнили.

Как можно объяснить, что вторую часть второго задания (простую задачу на проценты) выполнили только два из трех учащихся? Одна из причин – это неясность условия задания, связанная с терминами. Рассмотрим это более подробно. Экспорт (от латинского exportо – вывожу), вывоз товаров или капиталов за границу [5 – 7]. Следовательно, экспорт из Зедландии может включать экспорт и товаров, и капитала, неопределенность создает надпись на первой диаграмме: «Ежегодный экспорт из Зедландии в миллионах зедов». Надпись на первой диаграмме должна быть такой: «Ежегодный экспорт товаров из Зедландии в миллионах зедов». В таком виде эта надпись согласуется с надписью на второй (круговой) диаграмме: «Распределение экспорта из Зедландии в 2000 году». На этой диаграмме можно не уточнять: «экспорт товаров», поскольку из нее видно, что речь идет об экспорте товаров, а не капитала.

Чтобы исключить двусмысленность в заданиях «Экспорт», необходимо заменить надпись на первой диаграмме на следующую: «Ежегодный экспорт товаров из Зедландии в миллионах зедов, 1996 – 2000 гг.», а вопрос 1 сформулировать следующим образом: «Определить экспорт товаров (в миллионах зедов) из Зедландии в 1998 году.

Человек в современном обществе подвергается воздействию огромного количества несистематизированной, ложной и противоречивой информации. Поэтому научить его быстро отличать логически структурированную, систематизированную, ясную и точную информацию от информационного хлама – это одна из главных задач современного образования. Что это означает применительно к группе заданий «Экспорт»? В реальной (а не в учебной) ситуации, учащийся, обнаружив ошибки (неясности) в статье, посвященной экспорту, не будет тратить время на разгадывание «ребусов», отбросит ее и найдет другую, более профессиональную статью по этой теме.

Дополнение. Деятели программы PISA неудачно подобрали в своих заданиях названия страны, города, валюты. Валюта – зед, страна Зедландия, город (столица?) – Зед. Что же получается в итоге? Если, например, зед – это доллар, то получается, что Зедландия – «Страна долларов», «Земля долларов» или «Земля, где растут доллары», а город Зед – это город Доллар.

Выводы

1. Задания по математике «Экспорт» международной программы PISA-2003 аналогичны заданиям для учеников 5 класса советской и российской школы.

2. Задания по математике «Экспорт» содержат ошибки.

3. Результаты тестирования пятнадцатилетних учащихся с использованием этих заданий не имеют никакой ценности (следствие из п. 2)

Источники информации

[1] Основные результаты международного исследования образовательных достижений учащихся ПИЗА-2003. Москва. РАО. Институт содержания и методов обучения. Центр оценки качества образования. 2004. Интернет: http://window.edu.ru/window/library?p_rid=60349

[2] Международная оценка образовательных достижений учащихся. (Programme for International Student Assessment – PISA). Примеры заданий по математике.
Составители: Г.С. Ковалева, К.А. Краснянская. Российская академия образования. Институт содержания и методов обучения. Центр оценки качества образования. Москва. 2006. Интернет: http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=30231

[3] Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. Математика. Учебник для 5 класса. Утверждено Государственным комитетом СССР по народному образованию. 2-е издание. Москва. «Просвещение». 1990.

[4] Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов. М. "Логос". 2002.

[5] Большой энциклопедический словарь. Том 2. Главный редактор А.М. Прохоров. Москва. «Советская энциклопедия». 1991.

[6] Глоссарий: http://www.glossary.ru/cgi-bin/gl_sch2.cgi?Rdqxvuwy

[7] Новая Иллюстрированная энциклопедия. Том 20. Москва. ООО «Торговый Дом Издательство Мир Книги». Научное издательство «Большая Российская энциклопедия».

[8] Словари: http://www.finam.ru/dictionary/wordf0078100009/default.asp?n=1 (Здесь дается такое определение понятия "экспорт" : "Экспорт — вывоз за границу товаров, услуг и капитала для реализации на внешних рынках. Экспорт выступает как результат международного разделения труда и служит материальной предпосылкой импорта; выручка от экспорта является основным источником средств для оплаты импорта. Факт экспорта фиксируется в момент пересечения продукцией границы страны или предоставления услуги иностранному партнеру".

Статья не закончена!

Приложение 1

Задачи по применению математических знаний в различных сферах деятельности

(Задачи на определение математической грамотности)

Предисловие А.В. Краснянского

Под математической грамотностью в программе PISA понимают способность учащихся: 1) распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики; 2) формулировать эти проблемы на языке математики; 3) решать эти проблемы, используя математические факты и методы; 4) анализировать использованные методы решения; 5) интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы [1]. Естественно предположить, что задания программы PISA должны содержать примеры реальных проблем, решение которых возможно только с помощью математики. Однако эти задания, как правило, простые (на уровне нетрудных задач для 3 — 7 классов российской школы) и не представляют интереса ни с практической точки зрения , ни с точки зрения математики. В этом легко убедиться, если ознакомиться с заданиями по математике программы PISA-2003 [2]. На решение большей части задач [2] дается 2 — 4 минуты. Разве серьезную проблему и интересную математическую задачу можно решить за 2 — 4 минуты?

Деятели программы PISA придумали и используют новые термины: "математическая грамотность", "естественнонаучная грамотность", "грамотность чтения", но возникновение этих терминов не связано с открытием нового знания в педагогике. В советских и российских учебниках (были) и есть толковые задачи на применение математических знаний в быту и в профессиональной деятельности. Некоторые задания (для пятнадцатилетних учащихся — 9 и 10 класс!) международной программы PISA решаются в одно (!) действие. Поэтому здесь представлены задачи также и для 5 класса, часть которых решаются в два-три действия. Так что в советской и российской школе давно и успешно обучали и обучают "математической грамотности".

[2] Международная оценка образовательных достижений учащихся. (Programme for International Student Assessment – PISA). Примеры заданий по математике.
Составители: Г.С. Ковалева, К.А. Краснянская. Российская академия образования. Институт содержания и методов обучения. Центр оценки качества образования. Москва. 2006. Интернет: http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=30231

1.1. Задачи для 5 класса

Источник информации: Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. Математика. Учебник для 5 класса. Утверждено Государственным комитетом СССР по народному образованию. 2-е издание. Москва. «Просвещение». 1990

494. Длина одной стороны земельного участка прямоугольной формы 125 м и площадь его 105000 м². Вычисли периметр этого участка.
668. Участок прямоугольной формы нужно обнести забором. Через каждые 2 м забора будет врыт столб. Сколько всего столбов впонадобится, если длина одной стороны участка 80 м, а длина другой на 40 м больше. (Редакция А.К.)
683. В двухкомнатной квартире ширина каждой комнаты 4 м, а их длина 7 м и 5 м. Сколько квадратных метров коврового покрытия потребуется, чтобы полностью застлать полы в комнатах?
686. Прямоугольные плиты для застилки дорожки имеют размеры 180 см и 50 см. Сколько потребуется плит, чтобы застелить дорожку длиной 450 м и шириной 180 см?
687. Два земельных участка прямоугольной формы имеют общую площадь 1728 м². Стороны одного участка 24 м и 16 м, длина второго участка 42 м. Вычисли ширину второго участка. Ответ: 32 м.
1306. Приготовили два ящика промышленных отходов. Один в форме прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2,6 м, 1,4 м и 0,8 м, а другой в форме куба с ребром 13 дм. В какой из ящиков поместится больше отходов?
1338. хранилище автомобильного масла имеет форму прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 2,5 м, 1,6 м и 0,8 м. Сколько литров масла вмещает хранилище?
1339. 1 дм³ железа имеет массу 7,8 кг. Какова масса двухметрового железного бруса, если его сечение – квадрат со стороной 5 см.
1454. Требуется обнести проволочной сеткой высотой 1,2 м сад четырехугольной формы, стороны которого 27 м, 33 м, 22 м и 19 м. Сколько потребуется квадратных метров сетки?
1457. Сторона квадратного жестяного листа равна 1,5 м. Лист нужно разрезать на куски прямоугольной формы с измерениями 1 м и 0,2 м. Выясни с помощью чертежа, как получить наибольшее количество прямоугольников.
1459. Измерения прямоугольного параллелепипеда, сделанного из ясеня, 8 см, 6 см и 4 см. Ребро куба, сделанного из бальзового дерева, 12 см. Масса 1 см³ ясеня 0,75 г, а 1 см³ бальзового дерева 0,25 г. Сравни объемы и массы прямоугольного параллелепипеда и куба.

1.2. Задачи для 9 класса

Источник информации: В.А. Гусев, А.И. Медяник. Задачи по геометрии для 9 класса. Дидактические материалы. Пособие для учителя. 2-е издание. Москва. «Просвещение». 1990.

141. Из листа фанеры размером 220 см x 80 см для цветочных ящиков требуется вырезать равнобокие трапеции с основаниями 30 см и 10 см и острым углом 45°, причем сделать разметку требуется наиболее рациональным способом. Сколько таких трапеций можно вырезать? Ответ: 83 трапеции.
142. Требуется выстелить пол комнаты размером 6 м x 4 м плитками правильной шестиугольной формы. Определите, сколько таких плиток требуется, если сторона плитки 20 см. На запас добавляется 5% от общего количества плиток. Ответ: Всего потребуется 243 плитки.
143. Некоторая площадь покрыта равными правильными шестиугольными плитками. Какую площадь можно покрыть тем же числом равных правильных треугольных плиток, если сторона треугольной плитки равна меньшей диагонали шестиугольной плитки? Ответ: S₆:S₃ = 2:1.
144. Вода течет по двум трубам с одинаковой скоростью. Первая труба имеет диаметр d₁ =20 см, а вторая d₂=15 см. Во сколько раз подача воды в первой трубе больше, чем во второй? Ответ: Больше приблизительно в 1,8 раза.
145. Токарь должен обточить вал диаметром 142 мм так, чтобы площадь его поперечного сечения уменьшилась в 1,5 раза. На сколько уменьшится диаметр? Ответ: Диаметр уменьшился на 26 мм.
146. Найдите предельную нагрузку, которую может выдержать латунная проволока, если диаметр ее поперечного сечения 2,5 мм, а предельная нагрузка для латуни при растяжении составляет 637 ньютон на 1 мм². Ответ: 3.125×10³ Н. (Редакция А.К.)
147. На прямоугольном заводском дворе размером 150 м x 110 м, загруженном строениями, хотят разбить круглый газон радиусом 5 м. Там стоят 10 складов, размеры которых 20×20 м, 4 цеха раз¬мером 40м x 10 м и круглое бензохранилище радиуса 10 м. Докажите, что можно разбить этот газон вне зависимости от расположения строений.

1.3. Задачи для 9 – 10 классов

Источник информации: А.В. Погорелов. Геометрия. Учебное пособие для 6 – 10 классов средней школы. Допущено Министерством просвещения СССР. 5 издание. Москва. «Просвещение». 1986.

Параграф 20

1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 1 см и 5 см переплавлены в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба? Ответ: 6 см.
2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб. Ответ: 8,4 г/см³
5. Кирпич размером 25 х 12 х 6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность. Ответ: 1,8 г/см³.
6. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м³ на прямоугольной площадке размером 2,5 х 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара. Ответ: 2,29 м.
16. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева. Ответ: 0,5 г/см³.
17. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса 1 погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см³)? Ответ: 192,72 кг.
23. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 час) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с. Ответ: 6048 м³/час
24. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли прихо¬дится на 1 км насыпи. Ответ: 35200 м³.
50. 25 метров медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволок» (плотность меди 8,94 г/см³). Ответ: 0,75 мм.
51. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 км, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту? Ответ: 4500 л.
55. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см³) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы? Ответ: 61 кг.
57. Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет форму усеченного конуса. Диаметры концов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают, вычисляя объем бревна умножением площади его среднего поперечного сечения на длину? Ответ: 2 %. (Редакция А.К.)
62. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м, а образующая 3,5 м. Найдите объем кучи щебня. Ответ: 12 м³.
66. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см³. Определите массу стога сена. Ответ: 1,6 т.
67. Жидкость, налитая в конический сосуд 0,18 м высоты и 0,24 м в диаметре основания, переливается в цилин¬дрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде? Ответ: 0,67 м.
70. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см³). Ответ: 14 см.
71. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара. Ответ: 39 см.
72. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска? (Плотность свинца 11,4 г/см³). Ответ: 167.
73. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено? Ответ: 33,3(3) %.
74. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар. Ответ: 2148 см³.
75. Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V. Ответ: V/πR² – 2R/3.

Параграф 21

3. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см име¬ет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала? Ответ: приблизительно 40,4 м².
4. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность под¬вала. Ответ: приблизительно 116 м².
5. Из круглого листа металла выштампован цилиндри¬ческий стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изме¬нилась, найдите диаметр листа. Ответ: 75 см.
7. Конусообразная палатка высотой 3,5 м с диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку? Ответ: приблизительно 25,3 м².
8. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни б м. Найдите поверхность крыши. Ответ: приблизительно 34 м².
13. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая 1,42 м? Ответ: 1,04 м².
14. Сколько олифы (кг) потребуется для окраски внешней по¬верхности 100 ведер конической формы, если диаметры ведер 25 см и 30 см, образующая 27,5 см и если на 1 м² требуется 150 г олифы? Ответ: приблизительно 4,3 кг.

1.4. Задачи для 9 – 10 классов

Источник информации: В.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. Под редакцией З.А. Скопеца. Допущено Министерством просвещения СССР. 7 издание. Москва. «Просвещение». 1981.

Глава V

80. Сколько кусков обоев потребуется для оклейки комнаты размером 6 м х 5 м х 3 м, если размеры одного куска 0,5 м х 7 м и на обрезки достаточно иметь запас, равный площади окон и двери. Ответ: 19.
93. Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 м х 4,5 м и углом наклона грани к основанию в 45о. Сколько листов железа размером 70 см х 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10 % площади крыши? Ответ: 33.
112. Строительный кирпич имеет размеры 25 см х 12 см х 6 см. Найдите объем стены, выложенной из 10 000 кирпичей. Учтите, что строительный раствор увеличивает объем на 15 %. Ответ: 21 м3.
121. На изготовление закрытого ящика с квадратным основанием расходуется S м2 фанеры. Найдите линейные размеры ящика, при которых его объем имеет наибольшее значение. Ответ: Ящик кубической формы с ребром = корень квадратный из S/6.
136. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите объем и площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ: 2,6 млн. м3, 85 тыс. м2.
138. Один из алмазов, добытых в Якутии, весит 42 карата и имеет форму правильного октаэдра. Найдите ребро этого октаэдра. (Плотность алмаза 3,5 г/см3, 1 карат = 0,2 г.) Ответ: 1,7 см.
147. Для перекрытия русла реки при строительстве гидроэлектростанции изготовляют из бетона правильные треугольные усеченные пирамида массой по 10 т. Высота и стороны оснований такой пирамиды пропорциональны числам 5,2,6. Рассчитайте линейные размеры этой пирамиды. (Плотность бетона 2,2 г/см3.) Высота: 2,5 м, стороны оснований: 1,0 м и 3,0 м.
175. Железнодорожная насыпь высотой 2,8 м имеет ширину в верхней части 10,1 м, углы откоса 34^о. Найдите объем насыпи на прямолинейном участке пути длиной 1 км.

Глава VI

236. Стальная болванка имеет форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания 0,40 м и высотой 1,00 м. Сколько метров проволоки диаметром 5,00 мм можно изготовить из этой болванки вытягиванием? Ответ: 8,2 км.
237. Кабель диаметром 42 мм заключается в свинцовую оболочку толщиной 2,0 мм. На изготовление оболочки израсходован свинец массой 1 т. Какова длина кабеля? (Плотность свинца 11,4 г/см³.) Ответ: 320 м.
238. Стальной вал, имеющий 97 см в длину и 8,4 см в диаметре, обтачивается так, что его диаметр уменьшается на 0,2 см. Насколько уменьшится масса вала в результате обточки? (Плотность стали 7,4 г/см³) Ответ: 1,9 кг.
243. 1) Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 м, а окружность основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1 м³ зерна равна 750 кг? Ответ: 19 т.
2) Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 33^о. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 10 м³? Ответ: 1,6 м.

Приложение 2

Источник информации: Основные результаты международного исследования образовательных достижений учащихся ПИЗА-2003. Москва. 2004. (Национальный фонд подготовки кадров, Российская академия образования, Институт содержания и методов обучения, Центр оценки качества образования). Интернет: http://www.ekk.edu.ee/vvfiles/0/Report_PISA2003.pdf

Фрагменты из отчета «Основные результаты международного исследования образовательных достижений учащихся ПИЗА-2003»

Фрагмент 1 (стр. 2).

   В подготовке отчета принимали участие: Баранова В.Ю., Ковалева Г.С. (руководитель), к.п.н., Кошеленко Н.Г., Красновский Э.А., к.п.н., Краснокутская Л.П., к.ф.-м.н., Краснянская К.А., к.п.н., Кузнецова Л.В., к.п.н., Логинова О.Б., к.п.н., Суворова С.Б., к.п.н., Цыбулько И.П., к.п.н.
Национальный координатор исследования ПИЗА в России – Ковалева Г.С. Координатор по «математической грамотности» – Краснянская К.А. Координатор по «грамотности чтения» – Красновский Э.А. Координатор по «естественнонаучной грамотности» – Ковалева Г.С. Координатор по «решению проблем» – Краснокутская Л.П. Координатор по формированию выборки школ и учащихся – Нурминский А.И. Координатор по работе с данными и обработке результатов исследования – Баранова В.Ю.
   Работа выполнена в рамках проекта НФПК «Реформа системы образования».
    В кратком отчете представлены основные результаты международного исследования образовательных достижений учащихся ПИЗА (PISA, Programme for International Student Assessment), осуществляемого Организацией Экономического Сотрудничества и Развития ОЭСР (OECD – Organization for Economic Cooperation and Development) в области функциональной грамотности пятнадцатилетних учащихся. Приводятся данные о результатах учащихся России в сравнении со своими сверстниками из других стран-участниц исследования. В приложениях представлена информация о российских участниках исследования и примеры заданий, проверяющих математическую грамотность, естественнонаучную грамотность и компетентность в решении проблем.
   Отчет предназначен для широкого круга лиц: представителей органов управления образованием разного уровня; специалистов, занимающихся проблемами оценки качества образования; специалистов в области школьного естественно-математического и филологического образования. Представленные материалы могут быть полезны учителям школ и студентам педагогических вузов.

Фрагмент 2 (стр. 11)

Математическая грамотность

Подходы к оценке состояния математической грамотности 15-летних учащихся

   В 2003 году концепция исследования в целом осталась той же, что и на предыдущем этапе в 2000 году. Основное внимание было направлено на проверку владения общими понятиями, идеями и умениями, которые международная педагогическая общественность выделила как существенные для «взрослой» жизни. Содержание проверки математической подготовки 15-летних учащихся основано на понятии «математической грамотности», которое определяется как «способность человека определять и понимать роль математики в мире, в котором он живет, высказывать хорошо обоснованные математические суждения и использовать математику так, чтобы удовлетворять в настоящем и будущем потребности, присущие созидательному, заинтересованному и мыслящему гражданину» [20].
   Содержание этого понятия уточняется следующим образом. Под математической грамотностью понимается способность учащихся:
– распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики;
– формулировать эти проблемы на языке математики;
– решать эти проблемы, используя математические факты и методы;
– анализировать использованные методы решения;
– интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы;
– формулировать и записывать результаты решения.
   Можно констатировать, что понятие «математической грамотности» авторами концепции сведено к так называемой «функциональной грамотности», которая, по словам А. А. Леонтьева, предполагает способность человека использовать приобретаемые в течение жизни знания для решения широкого диапазона жизненных задач в различных сферах человеческой деятельности, общения и социальных отношений.
   В соответствии с трактовкой понятия «математической грамотности» в исследовании учащимся предлагаются, в основном, не типичные учебные математические задачи (характерные для российских внутришкольных и массовых проверок), а близкие к реальным проблемные ситуации, связанные с разнообразными аспектами окружающей жизни и требующие для своего решения большей или меньшей математизации. Речь в них идет о жизни школы, общества, личной жизни учащегося, профессиональной деятельности, спорте и др. Как и в 2000 году многие вопросы имеют межпредметный характер. Для ответа на них наряду с математическими знаниями необходимо использовать знания, приобретенные при изучении других предметов (например, знание о часовых поясах и диаграммах населения из географии).
   При этом принципиально, что задания на проверку математической грамотности включаются в тест, который содержит задания, составленные на материале из разных предметных областей (чтение, естествознание, математика). Таким образом, реально выполняется авторский замысел о проверке умения распознать ситуацию, требующую применения математики.

[20] The PISA 2003 Assessment Framework – Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills, OECD, 2003.

Приложение 3

Требования к заданиям в закрытой форме (стр. 118 – 120)

Источник информации: Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов. М. "Логос". 2002.

   Дистракторы* и основная часть заданий должны удовлетворять ряду требований, позволяющих правильно подойти к формулированию заданий теста. Часть требований носит достаточно общий характер и подходит для заданий всех форм, другая – крайне специфична и годится только для заданий закрытой формы. В случае разработки предтестовых заданий с одним правильным ответом к таким требованиям обычно относят следующие:
1)   в тексте задания должна быть устранена всякая двусмысленность или неясность формулировок**;
2)   основная часть задания формулируется предельно кратко, как правило, не более одного предложения из семи-восьми слов:
3)   задание имеет предельно простую синтаксическую конструкцию, в основной текст задания вводится не более одного придаточного предложения;
4)   в основную часть задания следует включать как можно больше слов, оставляя для ответа не более двух-трех наиболее важных, ключевых слов для данной проблемы;
5)   все ответы к одному заданию должны быть приблизительно одной длины либо правильный ответ может быть короче других, но не во всех заданиях теста;
6)   из текста задания необходимо исключить все вербальные ассоциации, способствующие выбору правильного ответа с помощью догадки;
7)   частота выбора одного и того же номера места для правильного ответа в различных заданиях теста должна быть примерно одинакова либо номер места для правильного ответа выбирается в случайном порядке;
   основная часть задания освобождается от всякого иррелевантного для данной проблемы материала;
9)   из ответов обязательно исключаются все повторяющиеся слова путем ввода их в основной текст заданий;
10)   в ответах не рекомендуется использовать слова «все», «ни одного», «никогда», «всегда» и т. п., так как в отдельных случаях они способствуют угадыванию правильного ответа;
11)   из числа неправильных исключаются ответы, вытекающие один из другого;
12)   при формулировке дистракторов не рекомендуется использовать выражения «ни один из перечисленных», «все перечисленные» и т.п., так как они способствуют угадыванию правильного ответа;
13)   из числа тестовых исключаются задания, содержащие оценочные суждения и мнения ученика по какому-либо вопросу:
14)   все дистракторы к каждому заданию должны быть равновероятно привлекательными для испытуемых, не знающих правильного ответа;
15)   ни один из дистракторов не должен являться частично правильным ответом, превращающимся при определенных дополнительных условиях в правильный ответ;
16)   основная часть задания формулируется в форме утверждения, которое обращается в истинное или ложное высказывание после подстановки одного из ответов;
17)   ответ на одно задание не должен служить ключом к правильным ответам на другие задания теста, т.е. не следует использовать дистракторы из одного задания в качестве ответов к другим заданиям теста;
18)   если задание имеет среди прочих альтернативные ответы, не следует сразу после правильного приводить альтернативный ответ, так как внимание отвечающего обычно сосредоточивается только на этих двух ответах;
19)   все ответы должны быть параллельными по конструкции и грамматически согласованными с основной частью задания теста.
Выполнить все эти требования для начинающего разработчика трудно, а иногда и попросту невозможно. Правда, часть требований носит рекомендательный характер, что несколько облегчает ситуацию с анализом отдельных недостатков формы. Например, вряд ли тест не удастся, если будет задействовано не семь-восемь, а десять, двенадцать или даже больше слов в формулировках основной части заданий либо задания будут сформулированы в виде вопроса. Другая часть требований обязательна к выполнению.
   Тест явно не годится, если в заданиях есть неработающие дистракторы либо в формулировках присутствуют скользкие места, порождающие при чтении двусмысленность.
Конечно, здесь многое зависит от специфики контролируемого содержания. Математические упражнения — наиболее подходящий объект для разработки заданий теста, так как правильность ответа обычно не вызывает никаких сомнений или разночтений. Гораздо сложнее обстоит дело, например, с историей, где зачастую появляются ответы, вызывающие сомнения в правильности, а также явно неправдоподобные дистракторы.

Примечания А.В. Краснянского. *Дистракторы – неправильные, но похожие на правильные, (правдоподобные) ответы. ** Очевидно, что это требование касается любых, а не только закрытых вопросов.