Anti-PISA. Анатолий Краснянский. Безграмотные задания программы PISA-2003. Дефекты в задании "Садовник". Приложение 1: Задание "Carpenter", аналогичное заданию "Садовник". Приложение 2: Должностная инструкция садовника. Приложение 3: Задачи по применению математических знаний в различных сферах деятельности.

Anti-PISA

Анатолий Краснянский

Безграмотные задания программы PISA-2003

Анатолий Владимирович Краснянский, кандидат химических наук, старший научный сотрудник Химического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова

Системный анализ задания "Садовник" международной программы PISA-2003

1. Введение

Международное тестирование учащихся (PISA, Programme for International Student Assessment) осуществляется Организацией Экономического Сотрудничества и Развития ОЭСР (OECD – Organization for International Cooperation and Development). Испытания проводятся раз в три года.

Программа ПИЗА-2003 осуществлялась консорциумом, состоящим из ведущих международных научных организаций при участии национальных центров и организации ОЭСР. Руководил работой консорциума Австралийский Совет педагогических исследований (The Australian Council for Educational Research – ACER). В Консорциум входили также следующие организации: Нидерландский Национальный институт измерений в области образования (Netherlands National Institute for Educational Measurement – CITO); Служба педагогического тестирования США (Educational Testing Service, ETS); Японский Национальный институт исследований в области образования (National Institute for Educational Research, NIER); Американская организация ВЕСТАТ (WESTAT), выполняющая различные исследования по сбору статистической информации [1].

В 2003 г приняло участие более 250 тысяч 15-летних подростков из 41 страны; в России почти 6 тысяч человек (212 школ) из 46 районов. Каждый ученик должен был за 2 часа письменно ответить на 50-60 вопросов по математике, чтению, естествознанию и решению проблем. Российские школьники заняли 29-31 место по математике, 24 по естественным наукам и по грамотности чтения 32 место [1].

Ректор МГУ имени М.В. Ломоносова академик РАН Виктор Антонович Садовничий и академик РАН Виктор Анатольевич Васильев рассмотрели несколько заданий по математике и естествознанию программы PISA-2003 и подвергли их жесткой критике (см. сайт). Ответом было полное молчание российских педагогов. Более того, часть нашей педагогической элиты (точнее – «элиты»), вместо того, чтобы провести анализ заданий (как поступили бы настоящие ученые), оживленно обсуждает результаты тестирования российских учащиеся и на основе этих результатов предлагает реформировать российское образование.

Задания по математике международной программы PISA-2003 опубликованы в работе [2].

В данной статье проведен анализ задания по математике «Садовник». Задание содержит всего один вопрос (вопрос 1). В приложении 1 к статье дан список логически некорректных заданий программы PISA-2003; в приложении 2 – советские и российские задачи по применению математических знаний в различных сферах деятельности (математической грамотности).

2. Задание по математике "Садовник"

Вопрос

У садовника имеется 32 м провода, которым он хочет обозначить на земле границу клумбы. Форму клумбы ему надо выбрать из следующих вариантов.

Обведите слово «Да» или «Нет» около каждой формы клумбы в зависимости от того, хватит или не хватит садовнику 32 м провода, чтобы обозначить ее границу.

ОЦЕНКА ВЫПОЛНЕНИЯ:
Ответ принимается полностью (трудность – 687) – 2 балла.
Процент учащихся, набравших данный балл 22,7 – Россия; 19,9 – средний по ОЭСР; 39,9 – максимальный, Гонконг.

Код 2: Даны все четыре верных ответа
Форма A   Да
Форма B   Нет
Форма C   Да
Форма D   Да

Ответ принимается частично – 1 балл.
Процент учащихся, набравших данный балл 26,3 – Россия; 30,7 – средний по ОЭСР; 36,2 – максимальный, Финляндия.
Код 1: Даны три верных ответа.
Ответ не принимается:
Код 0: Два или менее.
Код 9: Ответ отсутствует.
Задание проверяет: 2-ой уровень компетентности – установление связей (между данными из условия задачи при решении стандартных задач)
Область содержания: пространство и форма
Ситуация: обучение

3. Анализ задания «Садовник»

3.1. Первая ошибка: в задании не указаны углы в фигурах A, C и D. Можно предположить, что углы в многоугольниках А и C равны 90^о и 270^о, а фигура D – прямоугольник. Но человек не в состоянии увидеть различия в углах, если эти различия не более одного градуса, например, отличить угол 90^о от углов, равных, например, 89,5^о или 90,5^о. Математика – точная наука, поэтому констатируем первую ошибку в задании: не указано, что внутренние углы в многоугольниках А, C равны 90^о и 270^о, а в четырехугольнике D – 90^о.

С учетом того, что углы в многоугольниках А и С близки к 90^о и 270^о, а в четырехуголнике к 90^о, правильным ответом на вопрос (без доказательства) является следующий: периметры фигур А, С и D имеют множество значений, близких к 32 м, включая 32 м.

3.2. Вторая ошибка. Предположим, что авторы задания указали бы, что внутренние углы в многоугольниках А и C равны 90^о и 270^о, а четырехугольник D – прямоугольник. Однако и в этом случае задание остается некорректным. В математике используется логический принцип – принцип достаточного основания: ни одно суждение не может быть признано истинным без достаточного основания. Поэтому авторы задания должны были требовать от учащихся обоснованного ответа.

3.3. Третья ошибка. Авторы задания должны были дать время на обоснование ответа, а именно для доказательства того, что периметры фигур A и C равны периметру прямоугольника D.

В программе PISA для ответа на один вопрос дается в среднем две минуты. Очевидно, что этого времени недостаточно для того, чтобы дать обоснованный ответ на задание «Садовник».

3.4. Четвертая ошибка. Задание не является примером решения реальной проблемы. Под математической грамотностью деятели программы PISA понимают способность учащихся: 1) распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики; 2) формулировать эти проблемы на языке математики; 3) решать эти проблемы, используя математические факты и методы; 4) анализировать использованные методы решения; 5) интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы [1]. Следовательно, задания на определение математической грамотности должны быть примерами решения реальных проблем с помощью математических методов.

Однако в случае задания «Садовник» мы не встречаемся с реальной проблемой. Длина провода (веревки) не может быть проблемой как для садовника, так и для любого другого человека (если, конечно, он не находится далеко от населенных пунктов, в которых можно найти (купить) провод или веревку). У хорошего садовника (хозяина) всегда есть запас веревок. В каждом доме (за редким исключением) есть запас веревок, но психически здоровые люди не измеряют длину хранящейся дома веревки.

Проблемой для садовника может быть, например, создание клумбы сложной формы.

Отсюда вывод: задание "Садовник" не является примером реальной проблемы: оно только похоже на задание по определению математической грамотности, но не является им.

3.5. Еще одна ошибка авторов задания. Садовник для обозначения границ клумбы использовал провод. Провод — металлическая проволока, служащая для передачи электрического тока. Действительно, сгибая в нужных местах толстую проволоку, можно придать ей форму фигур А, B, C и D. Однако на это нужно потратить много времени, особенно для клумб сложной формы (фигуры А и С). Вот как специалисты советуют наносить контуры клумбы на землю:

"После того как план клумбы составлен и вычерчен на листе, его необходимо перенести на «натуру», то есть отметить на земле расположение основных элементов планировки. Для этого вам понадобится рулетка и мерный шнур. С их помощью линии плана перенесите на землю и отметьте бечевкой, закрепленной вбитыми колышками". [ http://www.smremont.com/landscape/index_tplid4_recid230.html ].

Чтобы закрепить тонкий провод или бечевку, ее необходимо обмотать вокруг каждого из колышков. Если садовник использовал толстый провод, то в случае клумб, имеющих форму А, С и D его длина может быть равной 32 м, причем, как уже указывалось, только в том случае, когда углы в многоугольниках А и C равны 90^о и 270^о, а фигура D – прямоугольник. Если же использовался тонкий провод, то длина его должна быть больше 32 метров, поскольку для закрепления провод необходимо обмотать вокруг колышков.

Следовательно, авторы задания сделали еще одну ошибку. Они решили, что длина провода в любом случае равна периметру клумбы.

В итоге имеем 5 ошибки в тексте задания "Садовник". В тексте задания 47 слов. Введем понятие: показатель дефектности текста K = 100n/N , где n — число ошибок в тексте, N — число слов в тексте. Показатель дефектности показывает число ошибок, сделанных в тексте, содержащем 100 слов. В данном случае имеем 500/47 = 10,64 . По правилам округления получаем, что показатель равен 11.

В советских и российских учебниках (в том числе для 5 класса) и пособиях есть толковые (корректные) задачи на применение математических знаний в различных сферах деятельности. В приложении 2 даны задачи, имеющие практическое значение. Они связаны с расчетом периметра, площади или объема различных геометрических фигур.

Примеры корректных заданий для 3 — 5 классов:

1) Задание для 3-го класса (№ 10, стр. 90, [3]): «Прямоугольник разбит на квадраты. Сторона закрашенного квадрата 1 см. Сторона квадрата, расположенного в верхнем левом углу, 2 см. Найди периметр прямоугольника».

2) Задание для 3-го класса (№ 9, стр. 97, [3]): «Прямоугольник разбит на квадраты. Сторона закрашенного квадрата 1 см. Сторона квадрата, расположенного в верхнем левом углу, 5 см. Найди периметр прямоугольника».

3) Задание для 1 класса (№ 9, стр. 81, [4]): «Прямоугольник разбит на квадраты. Найди длину и ширину прямоугольника, если сторона самого маленького квадрата равна 2 см.

Следует обратить внимание на то, что тестирование по программе PISA проходят пятнадцатилетние учащиеся (в основном это ученики 9 – 10 классов российской школы — речь идет о 2003 годе).

3.3. Анализ результатов, полученных на основании задания «Садовник» международной программой PISA-2003. В России набрали 2 балла и 1 балл соответственно 22,7 % и 26,3 % учащихся. Все остальные получили 0 баллов.

Российские школьники привыкли решать задачи с точными исходными данными и обосновывать (доказывать) свои ответы. Чтобы доказать, что периметры фигур А и С равны периметру фигуры D, нужно, во-первых, знать, что фигура D — прямоугольник, во-вторых, знать, что внутренние углы в фигурах А и С равны 90^о (а не 89^о или 91^о) и 270^о (а не, например, 269^о или 271^о) и, в-третьих, необходимо иметь значительно больше времени, чем две минуты,

Следовательно, задание "Садовник" нельзя решить на математическом (научном) уровне, а только на бытовом. Но российские школьники привыкли давать обоснованные ответы.

Следовательно, результаты тестирования российских учащихся на основании задания "Садовник" не имеют никакой ценности.

4. Выводы

1. Задание "Садовник" не является примером реальной проблемы; оно только похоже на задание по определению математической грамотности, но не является им.

2. В задании "Садовник" программы PISA-2003 не указано, что внутренние углы в многоугольниках А, С и D равны 90^о, то есть нет данных, необходимых для решения задачи на математическом (научном) уровне.

3. Авторы задания не требуют математического обоснования ответа.

4. Двух минут (среднее время на ответ на одно задание в программе PISA) недостаточно для того, чтобы дать обоснованный ответ на задание "Садовник".

5. Авторы задания исходят из ошибочного предположения, что длина провода в любом случае равна периметру клумбы.

6. Результаты тестирования российских пятнадцатилетних учащихся на основании задания "Садовник" не имеют никакой ценности (следствие из пунктов 1,2,3 и 4).

7. Задание наносит вред учащимся, так как приучает их давать необоснованные ответы.

8. Показатель дефектности задания "Садовник" равен 11.

4. Источники информации

[1] Основные результаты международного исследования образовательных достижений учащихся ПИЗА-2003. Москва. РАО. Институт содержания и методов обучения. Центр оценки качества образования. 2004. Интернет: http://window.edu.ru/window/library?p_rid=60349

[2] Международная оценка образовательных достижений учащихся. (Programme for International Student Assessment – PISA). Примеры заданий по математике.
Составители: Г.С. Ковалева, К.А. Краснянская. Российская академия образования. Институт содержания и методов обучения. Центр оценки качества образования. Москва. 2006. Интернет: http://window.edu.ru/library/pdf2txt/337/60337/30231 .

[3] Б.П. Гейдман, И.Э. Мишарина, Е.А. Зверева. Математика. Учебник для третьего класса начальной школы. Первое полугодие. Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации. Москва. Издательство МЦНМО. Издательство «Русское слово». 2007.

[4] Б.П. Гейдман, Т.В. Ивакина. И.Э. Мишарина. Математика. Учебник для 1 класса начальной школы. Второе полугодие. Москва. "Просвещение". "ЧеРо". Издательство МГУ. 2004.

[6] А.В. Погорелов. Геометрия. Учебное пособие для 6 – 10 классов средней школы. Допущено Министерством просвещения СССР. 5-е издание. Москва. «просвещение». 1986.

[7] Грегори А. Кимбл. Как правильно пользоваться статистикой. Перевод с английского Б.И. Клименко. Москва. Финансы и статистика. 1982. С. 175.

Статья не закончена!

Приложение 1

Задача, похожая на задание "Садовник"

Приложение 2

Должностная инструкция садовника

Должностная инструкция садовника. Скриншоты сделаны 11 октября 2011 года. URL: http://delo.trud.ua/item/sadovnik.html

Приложение 3

Задачи по применению математических знаний в различных сферах деятельности

(Задачи на определение математической грамотности)

Предисловие А.В. Краснянского

Под математической грамотностью в программе PISA понимают способность учащихся: 1) распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики; 2) формулировать эти проблемы на языке математики; 3) решать эти проблемы, используя математические факты и методы; 4) анализировать использованные методы решения; 5) интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы [1]. Естественно предположить, что задания программы PISA должны содержать примеры реальных проблем, решение которых возможно только с помощью математики. Однако эти задания, как правило, простые (на уровне нетрудных задач для 3 — 7 классов российской школы) и не представляют интереса ни с практической точки зрения , ни с точки зрения математики. В этом легко убедиться, если ознакомиться с заданиями по математике программы PISA-2003 [2]. На решение большей части задач [2] дается 2 — 4 минуты. Разве серьезную проблему и интересную математическую задачу можно решить за 2 — 4 минуты?

Деятели программы PISA придумали и используют новые термины: "математическая грамотность", "естественнонаучная грамотность", "грамотность чтения", но возникновение этих терминов не связано с открытием нового знания в педагогике. В советских и российских учебниках (были) и есть толковые задачи на применение математических знаний в быту и в профессиональной деятельности. Некоторые задания (для пятнадцатилетних учащихся — 9 и 10 класс!) международной программы PISA решаются в одно (!) действие. Поэтому здесь представлены задачи также и для 5 класса, часть которых решаются в два-три действия. Так что в советской и российской школе давно и успешно обучали и обучают "математической грамотности".

[2] Международная оценка образовательных достижений учащихся. (Programme for International Student Assessment – PISA). Примеры заданий по математике.
Составители: Г.С. Ковалева, К.А. Краснянская. Российская академия образования. Институт содержания и методов обучения. Центр оценки качества образования. Москва. 2006. Интернет: http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=30231

1.1. Задачи для 5 класса

Источник информации: Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. Математика. Учебник для 5 класса. Утверждено Государственным комитетом СССР по народному образованию. 2-е издание. Москва. «Просвещение». 1990

494. Длина одной стороны земельного участка прямоугольной формы 125 м и площадь его 105000 м². Вычисли периметр этого участка.
668. Участок прямоугольной формы нужно обнести забором. Через каждые 2 м забора будет врыт столб. Сколько всего столбов впонадобится, если длина одной стороны участка 80 м, а длина другой на 40 м больше. (Редакция А.К.)
683. В двухкомнатной квартире ширина каждой комнаты 4 м, а их длина 7 м и 5 м. Сколько квадратных метров коврового покрытия потребуется, чтобы полностью застлать полы в комнатах?
686. Прямоугольные плиты для застилки дорожки имеют размеры 180 см и 50 см. Сколько потребуется плит, чтобы застелить дорожку длиной 450 м и шириной 180 см?
687. Два земельных участка прямоугольной формы имеют общую площадь 1728 м². Стороны одного участка 24 м и 16 м, длина второго участка 42 м. Вычисли ширину второго участка. Ответ: 32 м.
1306. Приготовили два ящика промышленных отходов. Один в форме прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2,6 м, 1,4 м и 0,8 м, а другой в форме куба с ребром 13 дм. В какой из ящиков поместится больше отходов?
1338. хранилище автомобильного масла имеет форму прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 2,5 м, 1,6 м и 0,8 м. Сколько литров масла вмещает хранилище?
1339. 1 дм³ железа имеет массу 7,8 кг. Какова масса двухметрового железного бруса, если его сечение – квадрат со стороной 5 см.
1454. Требуется обнести проволочной сеткой высотой 1,2 м сад четырехугольной формы, стороны которого 27 м, 33 м, 22 м и 19 м. Сколько потребуется квадратных метров сетки?
1457. Сторона квадратного жестяного листа равна 1,5 м. Лист нужно разрезать на куски прямоугольной формы с измерениями 1 м и 0,2 м. Выясни с помощью чертежа, как получить наибольшее количество прямоугольников.
1459. Измерения прямоугольного параллелепипеда, сделанного из ясеня, 8 см, 6 см и 4 см. Ребро куба, сделанного из бальзового дерева, 12 см. Масса 1 см³ ясеня 0,75 г, а 1 см³ бальзового дерева 0,25 г. Сравни объемы и массы прямоугольного параллелепипеда и куба.

1.2. Задачи для 9 класса

Источник информации: В.А. Гусев, А.И. Медяник. Задачи по геометрии для 9 класса. Дидактические материалы. Пособие для учителя. 2-е издание. Москва. «Просвещение». 1990.

141. Из листа фанеры размером 220 см x 80 см для цветочных ящиков требуется вырезать равнобокие трапеции с основаниями 30 см и 10 см и острым углом 45°, причем сделать разметку требуется наиболее рациональным способом. Сколько таких трапеций можно вырезать? Ответ: 83 трапеции.
142. Требуется выстелить пол комнаты размером 6 м x 4 м плитками правильной шестиугольной формы. Определите, сколько таких плиток требуется, если сторона плитки 20 см. На запас добавляется 5% от общего количества плиток. Ответ: Всего потребуется 243 плитки.
143. Некоторая площадь покрыта равными правильными шестиугольными плитками. Какую площадь можно покрыть тем же числом равных правильных треугольных плиток, если сторона треугольной плитки равна меньшей диагонали шестиугольной плитки? Ответ: S₆:S₃ = 2:1.
144. Вода течет по двум трубам с одинаковой скоростью. Первая труба имеет диаметр d₁ =20 см, а вторая d₂=15 см. Во сколько раз подача воды в первой трубе больше, чем во второй? Ответ: Больше приблизительно в 1,8 раза.
145. Токарь должен обточить вал диаметром 142 мм так, чтобы площадь его поперечного сечения уменьшилась в 1,5 раза. На сколько уменьшится диаметр? Ответ: Диаметр уменьшился на 26 мм.
146. Найдите предельную нагрузку, которую может выдержать латунная проволока, если диаметр ее поперечного сечения 2,5 мм, а предельная нагрузка для латуни при растяжении составляет 637 ньютон на 1 мм². Ответ: 3.125×10³ Н. (Редакция А.К.)
147. На прямоугольном заводском дворе размером 150 м x 110 м, загруженном строениями, хотят разбить круглый газон радиусом 5 м. Там стоят 10 складов, размеры которых 20×20 м, 4 цеха раз¬мером 40м x 10 м и круглое бензохранилище радиуса 10 м. Докажите, что можно разбить этот газон вне зависимости от расположения строений.

1.3. Задачи для 9 – 10 классов

Источник информации: А.В. Погорелов. Геометрия. Учебное пособие для 6 – 10 классов средней школы. Допущено Министерством просвещения СССР. 5 издание. Москва. «Просвещение». 1986.

Параграф 20

1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 1 см и 5 см переплавлены в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба? Ответ: 6 см.
2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб. Ответ: 8,4 г/см³
5. Кирпич размером 25 х 12 х 6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность. Ответ: 1,8 г/см³.
6. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м³ на прямоугольной площадке размером 2,5 х 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара. Ответ: 2,29 м.
16. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева. Ответ: 0,5 г/см³.
17. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса 1 погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см³)? Ответ: 192,72 кг.
23. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 час) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с. Ответ: 6048 м³/час
24. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли прихо¬дится на 1 км насыпи. Ответ: 35200 м³.
50. 25 метров медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволок» (плотность меди 8,94 г/см³). Ответ: 0,75 мм.
51. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 км, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту? Ответ: 4500 л.
55. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см³) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы? Ответ: 61 кг.
57. Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет форму усеченного конуса. Диаметры концов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают, вычисляя объем бревна умножением площади его среднего поперечного сечения на длину? Ответ: 2 %. (Редакция А.К.)
62. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м, а образующая 3,5 м. Найдите объем кучи щебня. Ответ: 12 м³.
66. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см³. Определите массу стога сена. Ответ: 1,6 т.
67. Жидкость, налитая в конический сосуд 0,18 м высоты и 0,24 м в диаметре основания, переливается в цилин¬дрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде? Ответ: 0,67 м.
70. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см³). Ответ: 14 см.
71. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара. Ответ: 39 см.
72. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска? (Плотность свинца 11,4 г/см³). Ответ: 167.
73. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено? Ответ: 33,3(3) %.
74. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар. Ответ: 2148 см³.
75. Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V. Ответ: V/πR² – 2R/3.

Параграф 21

3. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см име¬ет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала? Ответ: приблизительно 40,4 м².
4. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность под¬вала. Ответ: приблизительно 116 м².
5. Из круглого листа металла выштампован цилиндри¬ческий стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изме¬нилась, найдите диаметр листа. Ответ: 75 см.
7. Конусообразная палатка высотой 3,5 м с диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку? Ответ: приблизительно 25,3 м².
8. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни б м. Найдите поверхность крыши. Ответ: приблизительно 34 м².
13. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая 1,42 м? Ответ: 1,04 м².
14. Сколько олифы (кг) потребуется для окраски внешней по¬верхности 100 ведер конической формы, если диаметры ведер 25 см и 30 см, образующая 27,5 см и если на 1 м² требуется 150 г олифы? Ответ: приблизительно 4,3 кг.

1.4. Задачи для 9 – 10 классов

Источник информации: В.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. Под редакцией З.А. Скопеца. Допущено Министерством просвещения СССР. 7 издание. Москва. «Просвещение». 1981.

Глава V

80. Сколько кусков обоев потребуется для оклейки комнаты размером 6 м х 5 м х 3 м, если размеры одного куска 0,5 м х 7 м и на обрезки достаточно иметь запас, равный площади окон и двери. Ответ: 19.
93. Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 м х 4,5 м и углом наклона грани к основанию в 45о. Сколько листов железа размером 70 см х 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10 % площади крыши? Ответ: 33.
112. Строительный кирпич имеет размеры 25 см х 12 см х 6 см. Найдите объем стены, выложенной из 10 000 кирпичей. Учтите, что строительный раствор увеличивает объем на 15 %. Ответ: 21 м3.
121. На изготовление закрытого ящика с квадратным основанием расходуется S м2 фанеры. Найдите линейные размеры ящика, при которых его объем имеет наибольшее значение. Ответ: Ящик кубической формы с ребром = корень квадратный из S/6.
136. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите объем и площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ: 2,6 млн. м3, 85 тыс. м2.
138. Один из алмазов, добытых в Якутии, весит 42 карата и имеет форму правильного октаэдра. Найдите ребро этого октаэдра. (Плотность алмаза 3,5 г/см3, 1 карат = 0,2 г.) Ответ: 1,7 см.
147. Для перекрытия русла реки при строительстве гидроэлектростанции изготовляют из бетона правильные треугольные усеченные пирамида массой по 10 т. Высота и стороны оснований такой пирамиды пропорциональны числам 5,2,6. Рассчитайте линейные размеры этой пирамиды. (Плотность бетона 2,2 г/см3.) Высота: 2,5 м, стороны оснований: 1,0 м и 3,0 м.
175. Железнодорожная насыпь высотой 2,8 м имеет ширину в верхней части 10,1 м, углы откоса 34^о. Найдите объем насыпи на прямолинейном участке пути длиной 1 км.

Глава VI

236. Стальная болванка имеет форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания 0,40 м и высотой 1,00 м. Сколько метров проволоки диаметром 5,00 мм можно изготовить из этой болванки вытягиванием? Ответ: 8,2 км.
237. Кабель диаметром 42 мм заключается в свинцовую оболочку толщиной 2,0 мм. На изготовление оболочки израсходован свинец массой 1 т. Какова длина кабеля? (Плотность свинца 11,4 г/см³.) Ответ: 320 м.
238. Стальной вал, имеющий 97 см в длину и 8,4 см в диаметре, обтачивается так, что его диаметр уменьшается на 0,2 см. Насколько уменьшится масса вала в результате обточки? (Плотность стали 7,4 г/см³) Ответ: 1,9 кг.
243. 1) Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 м, а окружность основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1 м³ зерна равна 750 кг? Ответ: 19 т.
2) Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 33^о. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 10 м³? Ответ: 1,6 м.