ТЕЗИСЫ ВСЕРОССИЙСКОГО СЪЕЗДА УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ (28–30 октября 2010 г.) СЕКЦИЯ «Преподавание математики»
К ВОПРОСУ О ВОСТРЕБОВАННОСТИ ЛОГИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ
О.А. Днепровская, Благовещенск, доцент кафедры алгебры, геометрии и методики преподавания математики БГПУ
Источник информации — http://math-congress-2010.msu.ru/upload/thesis/final/5.pdf
Развитие логического мышления всегда являлось одной из основных целей обучения математике. Если под развитием логического мышления понимать «вооружение … знаниями требований логики и выработку навыков использования этих требований в учебной и практической деятельности» [1, с.14], то можно отметить, что существующее положение дел в усвоении норм логического мышления трудно считать удовлетворительным.
К сожалению, многие учащиеся, выпускники школ допускают многочисленные логические ошибки при определении понятий, их классификации, при установлении связи между понятиями и т.п.
Кроме того, как считает И.Л. Никольская [2], от учащихся средней школы и, тем более, выпускников (а по нашему мнению, тем более, от будущих и действующих учителей математики), требуются следующие логические знания и умения:
знание точного смысла (функции) слов «и», «или», «не» и словосочетаний «если …, то …», «тогда и только тогда, когда» как логических связок; умение выделить логическую форму предложения; умение формулировать в утвердительной форме отрицания сложных предложений и предложений с кванторами; знание смысла слов «следует» (логически), «равносильно» (логически), «необходимо (необходимое условие)», «достаточно (достаточное условие)»; понимание смысла и владение навыками правильного употребления словосочетаний вида «по меньшей мере n», «не менее (не более) n», «n и только n»; умение проверить правильность рассуждения, обнаружить грубую логическую ошибку; знание наиболее употребительных приемов доказательства.
Опыт преподавания на протяжении ряда лет математической логики в педагогическом вузе позволяет, к сожалению, констатировать, что даже студенты физико-математического факультета допускают ошибки при выполнении следующего задания: сформулируйте отрицания высказываний «6 > 3»; «4 ≤ 5»; укажите значения истинности высказываний и их отрицаний.
Работа с учителями (в рамках курсов повышения квалификации) показала, что значительная часть аудитории допускает ошибки при решении нестрогих неравенств. Так, необходимо было выполнить следующее задание (взятое из материалов централизованного тестирования 2008 года): найдите число целых решений неравенства (x — 7)2(1 + log0,5(x — 2)) больше или равно нулю. Большая часть слушателей курсов посчитала равносильным переход к системе, состоящей из неравенств (x — 7)2 больше или равно нулю и (1 + log0,5(x — 2) больше или равно нулю. Понятно, что такой подход приводит к потере корня. В основе допущенной ошибки, по нашему мнению, лежит неумение работать с предложением, сформулированным в форме дизъюнкции. В данном случае достаточно дать словесную интерпретацию предложенного неравенства: произведение двух выражений больше нуля или равно нулю. И станет ясно, что требуется перейти к совокупности строгого неравенства и уравнения. Поэтому одной из важнейших задач профессиональной подготовки будущего учителя математики является, на наш взгляд, формирование и развитие логической грамотности, под которой мы, вслед за И.Л. Никольской, понимаем «свободное владение комплексом элементарных логических понятий и действий, составляющих азбуку логического мышления и необходимый базис для его развития» [2, с.4]. А преподавание всех дисциплин физико-математического цикла в педагогическом вузе должно быть максимально ориентировано на усиление значимости логических знаний и умений.
Литература
1. Поспелов Н.Н., Поспелов И.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. М.: Педагогика, 1989. 152 с. (Библиотека учителя и воспитателя).
2. Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике: автореф. . дис. … канд. пед. наук. М., 1973. 26 с.
ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
С.Д. Козлов, город Великие Луки, директор гимназии им. С.В. Ковалевской, учитель математики
Сегодня всех, как никогда ранее, охватил зуд реформирования системы образования в стране: пишутся новые программы, учебники, проекты, создаются различные концепции, стандарты, которые подчас в корне меняют устоявшиеся методики, отметают традиции, а значит, и опыт, который накапливался веками.
Торопливость реформаторов настораживает. Стоит вспомнить реформу математического образования 70-х: с одной стороны, она привнесла в школу многие элементы современной математики, а с другой, заменила «арифметику» на «математику» в младшем и среднем звене, что привело к потере многих эффективных, проверенных временем методов развития логического мышления, что впоследствии сказывается на изучении, прежде всего, геометрии. И сегодня предпринимаются попытки изменить программу, ввести новые разделы (например, теорию вероятностей), тесня старые, что подчас весьма спорно.
ЕГЭ стал фактически скрытой новой реформой, расчленяющей математику на её составляющие.
К тому же ЕГЭ стали использовать для выстраивания учителей по рейтингу и ослабленное, более чем 50 летней политикой государства, учительство, хотим мы того или нет, стало брать крен в сторону натаскивания, а многочисленные методические пособия по подготовке к ЕГЭ этому способствуют.
Но «заученная математика – это абсурд по определению, потому что сама суть математики – это логическое понимание и красота мыслительного процесса» (Лобок А.М.).
Более 10 лет я вел поиски ответа на вопрос: какой должна быть технология изучения математики в 10-11-х классах, чтобы при незначительной корректировке существующих программ повысить качество математических знаний выпускников?
Математика в старших классах – венец школьной математики и для большинства учащихся завершающий этап её изучения вообще. Поэтому у выпускников должно сложиться целостное представление об одной из важнейших наук. Так как математическая культура зависит не от количества изученных вопросов, а от качества их осознания и понимания взаимосвязей между ними, то мы должны дать своим ученикам, прежде всего ШКОЛУ, как в балете, которая позволит справиться им с обрушивающейся на них лавиной информации.
А бороться с этой лавиной, не имея ШКОЛЫ, — дело столь же бесперспективное, как и гнаться за ней.
«Математика … это и наука, и универсальный язык, однако, прежде всего – культурный феномен… это дисциплина, позволяющая человеку адекватно ориентироваться в окружающем мире» (Соловьёв Ю.П.).
«Естественный порядок наращивания знаний и умений всегда имеет характер развития по спирали» (А.Н. Колмогоров). Поиски вывели меня на такую спираль.
Придерживаясь общегосударственной программы, я ввёл в неё, для устранения существующих логических пробелов, некоторые элементы теорий уравнений и пределов; создал своё тематическое планирование (технологию), напоминающее винтовую лестницу, расширяющуюся кверху: над каждой «точкой» образовательного пространства ученики проходят многократно, но каждый раз смотрят на неё с другой высоты и под иным углом зрения. Систематическое повторение основных математических идей, методов и «технических» приёмов на новом материале и на новом уровне знаний, наряду с традиционным повторением — следование известной мудрости: «повторение – мать учения».
1-ый виток моей лестницы приходится на 1-9 классы. Там по индукции идёт накопление фактов, появляются главные математические объекты, устанавливаются первые связи между ними, делаются первые обобщения. В 10-11 классах преобладающими становятся дедуктивный подход, разного рода обобщения и систематизация имеющихся знаний.
2-ой виток — I — II четверти 10 класса — идёт обобщающее повторение курса алгебры основной школы, а на уроках геометрии в I-ой четверти изучается метод координат на плоскости. В III-й четверти на уроках алгебры изучается предел и непрерывность функции, её производная и их приложения с выходом на полное исследование функции и построение графиков на известных уже школьникам примерах. Функция становится центром всего изучаемого курса.
3-ий виток – IV четверть 10 класса и часть I четверти 11 класса изучаются тригонометрические функции, их свойства, графики и производные, тригонометрические уравнения, и неравенства. Происходит и знакомство с обратными тригонометрическими функциями их свойствами, графиками и производными, что при 12-летнем обучении может стать ещё одним полнокровным витком нашей лестницы (спирали).
4-ый виток – часть I-ой четверти 11 класса – некоторые иррациональные функции, уравнения и неравенства.
5-ый виток – часть II-ой четверти 11 класса – показательная функция, её свойства, график и производная, показательные уравнения и неравенства. 6-ой виток – часть II-ой и III-ей четверти – логарифмические функция, её свойства, график и производная, логарифмические уравнения и неравенства.
На 3-6 витках осуществляется переход от общих представлений о функции к частным, конкретным элементарным функциям, расширяется множество методов решений уравнений, рассматриваются различные подходы к решению аналогичных задач.
7-ой виток – часть III-ей и IV-ая четверти 11 класса – обобщение всего пройденного за курс средней школы.
При такой технологии сложно работать по существующим учебникам, и мне пришлось создать свой лекционный курс, который лёг в основу учебника по алгебре и началам анализа, над которым я сегодня и работаю.
Многолетний опыт работы показывает, что ученики, обучавшиеся по этой технологии, хорошо справляются с различными экзаменами по математике, в том числе и с ЕГЭ, поступают в престижные вузы страны и успешно там учатся.